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3D数学基础:向量的运算(加、减、乘)

本文摘自:《3D数学基础:图形与游戏开发》

3D数学主要关心向量和向量运算的几何意义。向量的运算包括三种:加法、减法、乘法。乘法分为三种:标量与向量相乘、向量的点乘、向量的叉乘。

向量的长度

向量的大小用向量两边加竖线表示,这和标量的“绝对值”在标量两边加单竖线类似。这种记法和n维向量大小的计算公式如下:

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如果是二维向量,则公式与勾股定理一致。

向量的加减法

向量的加减法很简单,举两例说明。

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向量的乘法

1.标量乘向量

虽然标量和向量不能相加,但能相乘。结果将得到一个向量,与原向量平行,但长度不同或方向相反。

向量v乘以一个标量k,可以想象成将向量按k倍进行缩放,如果k>0,则方向不变,如果k<0,则方向相反。

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3D数学基础:向量

本文摘自:《3D数学基础:图形与游戏开发》

向量是2D、3D数学研究的标准工具。术语向量有两种不同但相关的意义,一种是纯抽象的数学意义,另一种是几何意义。为了精通3D数学,你需要理解这两种意义以及它们之间的关系。

数学意义:对程序员而言,向量就是一个数组数学上,区分向量标量

几何意义:向量是有大小方向的线段。

  • 向量的大小就是向量的长度()。向量有非负的长度。

  • 向量的方向描述了空间中向量的指向。注意,方向并不完全和方位等同。

向量中的数表达了向量在每个维度上的有向位移。例如向量 [1,2] 表示向x轴正方向移动1,向y轴正方向移动2。向量可以理解为位移序列。

向量不描述位置,点用来描述位置。

形状和角度不变的向量,不管位置在哪里,它的值都是不变的。(你可以理解为,向量永远是相对于向量的起点来描述的,虽然这样并不太准确)

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3D数学基础:惯性坐标系

本文摘自:《3D数学基础:图形与游戏开发》

有时候,好的术语是引领人们正确理解主题的钥匙。为了简化世界坐标系到物体坐标系的转换,人们引入了一种新的坐标系,称作惯性坐标系。意思是在世界坐标系到物体坐标系的“半途”。

惯性坐标系的原点和物体坐标系的原点重合,但惯性坐标系的轴平行于世界坐标系的轴。

坐标系.png

为什么要引入惯性坐标系呢?因为从物体坐标系转换到惯性坐标系只需旋转,从惯性坐标系转换到世界坐标系只需要平移。分开考虑两件事比把它们糅合在一起容易得多。

将物体坐标系绕原点顺时针旋转45°,则会从物体坐标系转换为惯性坐标系。再从惯性坐标系向左下角平移,即可转换到世界坐标系。

3D数学基础:摄像机坐标系

本文摘自:《3D数学基础:图形与游戏开发》

摄像机坐标系是和观察者密切相关的坐标系。摄像机坐标系和屏幕坐标系相似,差别在于摄像机坐标系处于3D空间中,而屏幕坐标系在2D平面里。摄像机坐标系能被看作一种特殊的“物体”坐标系,该“物体”坐标系是定义在摄像机的屏幕可视区域。摄像机坐标系中,摄像机在原点,x轴向右,z轴向前(朝向屏幕内或摄像机方向),y轴向上(不是世界的上方,而是摄像机本身的上方)。

注意,其他书中的摄像机坐标系关于轴向的约定可能不同。特别是,许多图形学书中习惯使用右手坐标系,z轴向外,即从屏幕指向读者。

关于屏幕坐标系的典型问题是哪些物体应该在屏幕上绘制出来。

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如:

  • 3D空间中的给定点在摄像机前方吗?

  • 3D空间中的给定点是在屏幕上,还是超出了摄像机平截椎体的左、右、上、下边界?(平截椎体就是摄像机能观察到的金字塔区域)

  • 某个物体是否在屏幕上?它的部分在,或全部不在?

  • 两个物体,谁在前面?(该问题称作可见性检测)

请注意,要绘制任何物体,这些问题都是很关键的。